REVISITANDO AS AULAS DE FÍSICA - 2º EMB - 3ª SEMANA - 10/02/14 A 14/02/14

Dilatação térmica dos sólidos

A dilatação térmica dos sólidos ocorre quando um corpo tem sua temperatura aumentada. Assim, o grau de agitação de suas moléculas também aumenta, aumentando também a temperatura e, consequentemente, variando suas dimensões.

Um sólido possui três dimensões: comprimento, largura e altura. Se observarmos ou levarmos em consideração apenas a variação de uma de suas dimensões, quando acontece a dilatação em um sólido, essa dilatação será denominada dilatação linear.

 

Espaço deixado propositalmente entre dois segmentos de trilho de uma ferrovia

 

Ao ser aquecida, a barra de ferro tem seu comprimento aumentado

Você já observou os trilhos de uma estrada de ferro? Entre dois pedaços consecutivos de trilho, há um espaço. Da mesma forma, as pontes de concreto muito longas não são construídas em um único bloco. São formadas por vários blocos de concretos, construídos um do lado do outro. Esses espaços são deixados pelos construtores pelo fato de a maioria dos materiais se dilatarem com o aumento da temperatura.

Portanto, um material (ou substância) quando é aquecido tem suas dimensões alteradas. Na maioria dos casos envolvendo sólidos, essas variações são facilmente percebidas, mas uma observação rigorosa é capaz de indicar fatores que vão influenciar no processo de dilatação sofrido pela substância.

Como a dilatação é causada pelo aumento de temperatura, podemos dizer que quanto maior for o aumento de temperatura maior será a dilatação. Dessa forma, para variações não muito grandes de temperatura, a dilatação do comprimento é proporcional a ela, sendo normalmente imperceptível.

Quanto à dilatação linear, podemos afirmar que o tipo de material tem influência na dilatação da substância. Essa característica dos materiais pode ser representada por um número chamado de coeficiente de dilatação que é obtido experimentalmente e que informa quanto uma unidade de comprimento da substância se dilata ao sofrer variação de temperatura de 1°C.

O modo como cada um desses fatores (variação da temperatura, comprimento inicial da barra e material do qual ela é constituída) influi na dilatação pode ser traduzido matematicamente por uma equação bastante simples. Vejamos a figura acima, nela temos uma barra metálica de comprimento L0 e temperatura inicial T0, ao ser aquecida durante certo intervalo de tempo, passará a ter um comprimento final L e temperatura final T0.

Dessa forma, a barra sofre uma dilatação linear ΔL que pode ser calculada pela diferença entre L e L0 quando sofreu uma variação na sua temperatura (ΔT) calculada entre T e T0. Assim, temos:

ΔL= L₀  .α .ΔT     ou     L= L₀ (1+ α.ΔT)

No SI, o comprimento inicial da barra é dado em metros, o coeficiente de dilatação linear do material α é dado em K^-1 e a variação de temperatura ΔT é dada em K. Porém é mais usual utilizar o coeficiente de dilatação do material em °C^-1 e a variação da temperatura em °C.

Por Domiciano Marques

Graduado em Física

Para mais informações clique em:

http://www.brasilescola.com/fisica/dilatacao-linear-dos-solidos.htm

Aula on line:

http://www.youtube.com/watch?v=kJ6STbxaUg8

Curiosidades:

http://www.brasilescola.com/fisica/como-facilitar-abertura-tampa-um-vidro-azeitonas.htm

REVISITANDO AS AULAS DE MATEMÁTICA - 7º ANO B - 2ª SEMANA - 03/02/14 A 07/02/14

Sistema maia antigo de numeração

Vamos agora analisar o sistema de numeração do povo maia, que viveu por volta do ano 500 d.C. onde hoje se localizam o México e algumas regiões na América Central. 
Assim como o sistema de numeração mesopotâmico e o nosso, o maia também era posicio-nal, porém de base 20. Para um sistema assim, espera-se que os alga rismos multipliquem potências 
de 20, que são 1, 20, 400, 8 000, ... porém, o sistema maia operava com uma irregularidade nesse padrão: na posição de 20² = 400, em que o algarismo deveria ser multiplicado por 400, ele era multiplicado por 360. Em virtude dessa anomalia, o sistema maia deixou de ser funcional por ser posicional e ter um símbolo para representar o zero. No nosso sistema, colocar zero à direita de um 
número natural corresponde a multiplicá-lo por 10. Se o sistema maia fosse estritamente vigesimal (base 20), colocar zero à direita de um número natural corresponderia a multiplicá-lo por 20, o que não ocorre na prática em virtude do uso do 360 na casa que deveria ser ocupada pelo 400.
Observe atentamente alguns exemplos de números na escrita maia.

Sistema romano antigo de numeração

O sistema romano antigo de numeração, cujas marcas ainda são presentes em nosso tempo, não foi concebido para fazer contas, mas sim para o registro e a escrita dos números. 

Como você verá mais adiante, o sistema romano não era operacional para a realização de contas, o que de forma alguma quer dizer que os romanos antigos não faziam contas. Para fazer cálculos, eles utilizavam o ábaco de fichas, que é um instrumento semelhante ao soroban. 

Do mesmo modo que o sistema egípcio, o romano também era regido pela adição dos algarismos que compõem o número, com uma dificuldade adicional: os romanos também usavam o princípio subtrativo na composição dos números.

Veja a seguir os algarismos do sistema romano de numeração.

1                                      I

5                                     V

10                                   X

50                                    L

100                                  C

500                                  D

1 000                               M

(I na origem do sistema romano)

(CI na origem do sistema romano)

Observe agora alguns números escritos no sistema romano com o uso apenas do princípio aditivo:

237 ‰CCXXXVII

1 865 ‰MDCCCLXV

O uso do princípio subtrativo na composição de números do sistema romano é regido pela seguinte regra: a subtração na composição de um número só pode ser utilizada entre dois algarismos consecutivos da tabela ordenada dos algarismos romanos, e nunca podemos utilizar os algarismos V, L e D para retiradas. Dessa forma, 499 não 

pode ser escrito como ID porque do algarismo D só podemos retirar o algarismo C, que é o símbolo imediatamente anterior a ele na tabela; 45 não pode ser escrito com VL porque o algarismo V não pode ser utilizado para fazer retiradas etc. Veja a escrita correta 

dos números 499 e 45:

499 ‰CDXCIX

45 ‰XLV

REVISITANDO AS AULAS DE MATEMÁTICA - 8ª A, B, C e D - 2ª SEMANA - 03/02/14 A 07/02/14

DIAGRAMAS E LÓGICA

Conjuntos e diagramas
Os diagramas podem ser usados para representar os conjuntos e suas relações. Atribui-se
ao famoso matemático suíço Leonhard Euler a ideia de usar diagramas para representar relações lógicas. O diagrama de Euler nada mais é do que uma região delimitada do plano,
simbolizada por uma figura curva fechada, que representa um conjunto. Um conjunto é
formado por elementos que possuem determinada propriedade.

Os diagramas de Euler passaram a ser amplamente utilizados para representar conjuntos
em virtude de sua facilidade de compreensão visual. Contudo, ficaram mais conhecidos como
“Diagramas de Venn”, por causa da semelhança com o tipo de diagrama criado pelo
filósofo britânico John Venn. Os diagramas também podem ser usados para representar
argumentações lógicas.
Essa estrutura de argumentação lógica é denominada silogismo e é composta de três
proposições: duas premissas e uma conclusão.


Todo homem é mortal.
João é homem.
Logo, João é mortal


Uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a audiência de três programas de televisão.
Ao todo, 1 200 famílias foram entrevistadas e obtiveram-se os seguintes resultados: 370 famílias
assistem ao programa A; 300, ao programa B e 360, ao programa C. Desse total, 100 famílias assistem aos programas A e B; 60, aos programas B e C; 30, aos programas A e C e 20 famílias assistem aos 3 programas. Com base nesses dados, responda:
a) Famílias que assistem a três programas.
b) Famílias que assistem a dois programas.
c) Famílias que assistem exclusivamente a um programa.
d) Famílias que não assistem a nenhum dos três programas.


Com base no diagrama apresentado na atividade anterior, responda às seguintes perguntas:
a) Quantas famílias assistem ao programa A e não assistem ao programa C?
b) Quantas famílias assistem aos programas B e C e não assistem ao programa A?
c) Qual é o programa de maior fidelidade, ou seja, aquele cujos espectadores somente assistem a ele?

REVISITANDO AS AULAS DE MATEMÁTICA - 2º EM A, B, C e D - 2ª SEMANA - 03/02/14 A 07/02/14

CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a origem dos arcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas, dessa forma, este ponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados os números reais α relacionados a um único ponto P. Os sentidos dos arcos trigonométricos estão de acordo com as seguintes definições:

Se α = 0, P coincide com A.
Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário.
Se α < 0, o sentido do círculo será horário.
O comprimento do arco AP será o módulo de α.




Na ilustração a seguir estão visualizados alguns números importantes, eles são referenciais para a determinação principal de arcos trigonométricos:

Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o ângulo α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no círculo para determinarmos a sua imagem.

Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-horário e localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.

Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completas no sentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6 = 2π – 5π/6.

Assista à aula on line: http://www.youtube.com/watch?v=kykhaKGVJfI

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

UNIDADES DE MEDIDAS DE ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA

Dada uma circunferência qualquer de centro O e raio r, iremos marcar dois pontos A e B, os quais dividirão a circunferência em duas partes denominadas de arco de circunferência. Os pontos A e B são os extremos dos arcos. Caso as extremidades sejam coincidentes, temos um arco com uma volta completa. Observe a ilustração a seguir:

Nela podemos notar a existência do arco AB e de um ângulo central representado por α. Para cada arco existente na circunferência temos um ângulo central correspondente, ou seja: med(AÔB) = med(AB). Portanto, o comprimento de um arco depende do valor do ângulo central.

Na medição de arcos e ângulos usamos duas unidades: o grau e o radiano.

Medidas em Grau 
Sabemos que uma volta completa na circunferência corresponde a 360º, se a dividirmos em 360 arcos teremos arcos unitários medindo 1º grau. Dessa forma, enfatizamos que a circunferência é simplesmente um arco de 360º com o ângulo central medindo uma volta completa ou 360º. Também podemos dividir o arco de 1º grau em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1’ (arco de um minuto). Da mesma forma podemos dividir o arco de 1’ em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1” (arco de um segundo).

Medidas em Radianos

Dada uma circunferência de centro O e raio R, com um arco de comprimento s e α o ângulo central do arco, vamos determinar a medida do arco em radianos de acordo com a figura a seguir:

Dizemos que o arco mede um radiano se o comprimento do arco for igual à medida do raio da circunferência. Assim, para sabermos a medida de um arco em radianos, devemos calcular quantos raios da circunferência são precisos para se ter o comprimento do arco. Portanto:

Com base nessa fórmula podemos expressar outra expressão para determinar o comprimento de um arco de circunferência:

De acordo com as relações entre as medidas em grau e radiano de arcos, vamos destacar uma regra de três capaz de converter as medidas dos arcos. Veja:

360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28)
180º → π radiano (aproximadamente 3,14)
90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57)
45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)

medida em graus	medida em radianos
x	α
180	π

Exemplos de conversões:

a) 270º em radianos

 b) 5π/12 em graus

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

REVISITANDO AS AULAS DE FÍSICA - 2º EMB - 2ª SEMANA - 03/02/14 A 07/02/14

TERMÔMETROS

Existem vários tipos de termômetros, cada um deles tendo por base a variação de alguma grandeza cujo valor se modifica quando a temperatura é alterada.
O tipo mais comum de termômetro consiste de um recipiente de vidro, provido de um depósito (bulbo) e de um capilar adaptado a ele. No interior deste recipiente é colocado um líquido que pode ser o mercúrio ou álcool colorido.
Quando o bulbo é aquecido, o líquido se dilata e, então, sua altura se modifica ao longo do tubo do termômetro.

ESCALAS TERMOMÉTRICAS
As escalas termométricas mais utilizadas são: Celsius, Fahrenheit e Kelvin.
Para fazermos a conversão entre as escalas termométricas, clique no link:

http://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/

LISTA DE EXERCÍCIOS

Termometria

1. A temperatura normal do corpo humano é 36,7ºC. Qual é a leitura que a escala Fahrenheit fornece para essa mesma temperatura?
2. Num dia de verão, a temperatura de uma sala é 68ºF. Qual a indicação na escala Celsius?
3. Nos Estados Unidos, em determinado ano, a diferença entre a temperatura máxima e mínima do inverno foi de 60ºC. Determine o valor dessa diferença na escala Fahrenheit.
4. (UEL – PR)Dois termômetros X e Y têm, respectivamente, pontos de fusão 30ºX e 50º Y,  ebulição 150º X e 200º Y, De acordo com ele, a temperatura de 150º Y corresponde a quantos graus na escala X?
5. (ITA – SP) Um pesquisador construiu uma escala termométrica P, baseada nas temperaturas de fusão e ebulição do álcool etílico, tomados como pontos 0 e 100 dessa escala. Na escala Celsius, esses dois pontos extremos têm valores – 118ºC e 78ºC. Usado para medir a temperatura de uma pessoa com febre, esse termômetro marcou 80ºP. Calcule em graus Celsius a temperatura indicada?
6. A escala Réaumur (símbolo: °Ré, °Re, °R) é uma escala de temperatura proposta em 1730 pelo físico e inventor francês René-Antoine Ferchault de Réaumur (1683-1757) cujos pontos fixos são o ponto de congelamento da água (0°Ré) e seu ponto de ebulição(80°Ré). Qual é a relação entre as escalas Celsius e Réaumur?
7.  (UFBA) Dois termômetros, Z e W, marcam, nos pontos de fusão do gelo e de ebulição da água, os seguintes valores:

Termômetro	Fusão do gelo	Ebulição da água
Z	4	28
W	2	66

Para que valor as duas escalas apresentam a mesma leitura?

8. A temperatura normal do corpo humano é cerca de 37ºC. Expresse essa temperatura na escala Kelvin.
9. A temperatura de ebulição do nitrogênio líquido é 78K. Qual é o valor dessa temperatura na escala Celsius?
10. Três estudantes tinham informações sobre a temperatura de uma certa região do espaço, extremamente fria. Cada um deles fez uma suposição sobre o possível valor desta temperatura:

a)      Estudante A: - 327ºC

b)      Estudante B: - 15K

c)      Estudante C: -253ºF

REVISITANDO AS AULAS DE MATEMÁTICA 7º ANO B - 1ª SEMANA - 27/01/14 A 31/01/14

Nesta primeira semana de aula, foi passado o conteúdo programático e iniciamos os estudos sobre "O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DOS POVOS ANTIGOS".

1º BIMESTRE

NÚMEROS E OPERAÇÕES

Ø  Sistema de numeração de povos antigos (egípcios, babilônios, maias, chineses e romanos)

Ø  Sistema de numeração binário

Ø  Conjunto dos números inteiros

Ø  Subconjuntos de Z

Ø  Reta numérica inteira

Ø  Módulo

Ø  Comparação de números inteiros

Ø  Adição de números inteiros

Ø  Subtração de números inteiros

Ø  Multiplicação de números inteiros

Ø  Divisão de números

Ø  Potenciação de números inteiros

Ø  Radiciação de números inteiros

Ø  Conjuntos dos Números Racionais Q

Ø  Reta numérica racional

Ø  Adição algébrica de números racionais

Ø  Multiplicação de Números Racionais

Ø  Divisão de números racionais

Ø  Potenciação de números racionais

Ø  Radiciação de números racionais

2º BIMESTRE

GRANDEZAS E MEDIDAS

ESPAÇO E FORMA

Ø  Unidades de medidas em informática

Ø  Ângulos

Ø  Medidas e unidades de ângulos

Ø  Medidas usando transferidor

Ø  Estimativas

Ø  Operações com medidas de ângulos

Ø  Simetria

Ø  Ângulos complementares, suplementares e replementares

Ø  Ângulos correspondentes, alternos e colaterais

Ø  Polígonos

Ø  Soma dos ângulos internos e externos de um polígono

Ø  Figuras planas e espaciais

Ø  Construção e classificação dos poliedros

3º BIMESTRE

RELAÇÕES

Ø  Razão

Ø  Proporção

Ø  Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Ø  Regra de três

Ø  Porcentagem

Ø  Juros simples

4º BIMESTRE

ÁLGEBRA

Ø  O uso de letras para representar números

Ø  Monômios

Ø  Operações com monômios

Ø  Polinômios

Ø  Operações com polinômios

Ø  Igualdade

Ø  Equação

Ø  Conjunto Universo

Ø  Conjunto Solução ou Conjunto Verdade de uma equação

Ø  Equação do 1º grau com uma incógnita

Ø  Resolução de equações do 1º grau com uma incógnita

Ø  Resolução de problemas do 1º grau

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

Ø  Gráficos de setores

Ø  Noções de probabilidade

Ø  Problemas de contagem

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DOS EGÍPCIOS

Por volta de 3000 a.C., os egípcios já tinham um sistema de escrita para a representação dos algarismos utilizando símbolos, muitos dos quais fazendo referência à fauna e à flora das proximidades do rio Nilo, onde habitavam. A base do sistema egípcio de numeração, assim como o nosso sistema, é decimal, o que significa que os agrupamentos são feitos em potência de 10

http://meuartigo.brasilescola.com/matematica/o-sistema-numeracao-egipcio.htm

SISTEMA DE NUMERAÇÃO MESOPOTÂMICO

O sistema de numeração dos povos que viveram na Mesopotâmia, por volta de 2000 a.C., também merece uma investigação detalhada pelo fato de ser um dos mais antigos sistemas posicionais - característica que o aproxima do nosso - e por ser um sistema de base 60 - característica que o diferencia do nosso. A escrita mesopotâmica era feita em placas de argila co o uso de bastonetes, cunhando-se o barro, daí o nome escrita cuneiforme.

REVISITANDO AS AULAS DE MATEMÁTICA 8ª A, B, C e D - 1ª SEMANA - 27/01/14 A 31/01/14

Nesta primeira semana de aula foi passado o conteúdo programático e as orientações necessárias para uma boa convivência.

NÚMEROS E OPERAÇÕES

1º BIMESTRE

Ø  Teoria dos conjuntos

Ø  Operações com conjuntos

Ø  Resolução de situações-problemas utilizando conjuntos

Ø  Conjuntos Numéricos

Ø  Números racionais

Ø  Fração geratriz

Ø  Números irracionais

Ø  O número π e o número de Euler

Ø  Conjunto dos números reais

Ø  Operações com números reais

Ø  Potenciação

Ø  Notação científica

Ø  Radicais

Ø  Fatoração de polinômios

Ø  MDC e MMC de polinômios

2º BIMESTRE

ÁLGEBRA E FUNÇÕES

Ø  Equação quadrática ou do 2º grau com uma incógnita

Ø  Resolução de equações do 2º grau com uma incógnita

Ø  Resolução de problemas do 2º graus

Ø  Equações biquadradas

Ø  Equações irracionais

Ø  Sistemas de duas equações do 2º grau com duas incógnitas

Ø  Introdução ao estudo das funções

Ø  Funções do 1º e 2º graus.

 3º BIMESTRE

ESPAÇO E FORMA

Ø  Teorema de Pitágoras

Ø  Semelhança de figuras planas

Ø  Relações métricas no triângulo retângulo

Ø  Trigonometria no triângulo retângulo

Ø  Trigonometria num triângulo qualquer

Ø  Relações métricas em polígonos inscritos numa circunferência

4º BIMESTRE

GRANDEZAS E MEDIDAS

Ø  Área do círculo e do cilindro

Ø  Volume do cilindro

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

Ø  Problemas de contagem

Ø  Probabilidade

TEORIA DOS CONJUNTOS

A Teoria dos conjuntos  é a teoria matemática  dedicada ao estudo da associação entre objetos com uma mesma propriedade.

O conhecimento prévio de tal teoria serve como base para o desenvolvimento de outros temas na matemática, como relações, funções, análise combinatória, probabilidade, etc.

Como definição intuitiva de conjuntos, na teoria exemplos como:

1.     um conjunto unitário possui um único elemento

2.     dois conjuntos são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos

3.     conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento

4.     Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Um conjunto finito pode ser definido reunindo todos os seus elementos separados por vírgulas. Já um conjunto infinito pode ser definido por uma propriedade que deve ser satisfeita por todos os seus membros.

REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO

Um conjunto pode ser representado:

a) Pela enumeração de seus elementos:

Conjunto A dos números naturais menores que 6

A= {0,1,2,3,4,5}

b) Simbolicamente

A={x ∈ IN/x<6 nbsp="">

c) Por diagramas:

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

 - Pertinência, que estabelece se um elemento pertence ou não pertence a um conjunto pré-estabelecido:

- dado um número x, caso ele pertença ao conjunto, escrevemos x ∈ A, ou "x" pertence ao conjunto A

- caso "x" não pertença ao conjunto, registra-se x ∉ A
- um conjunto sem elementos é um conjunto vazio, representado pela letra grega φ (phi)

RELAÇÃO DE INCLUSÃO

2 - Subconjunto:

Caso todo o elemento do conjunto A pertença também ao conjunto B, sem que todos os elementos deste segundo grupo pertençam todos a B, diremos que "A é subconjunto de B": A ⊂ B

 http://www.youtube.com/watch?v=i50d2i5jsLc

RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

1. INCLUSÃO: Todo a é b. Se todo elemento de A pertence a B, então A é um subconjunto de B

2. UNIÃO: a ou b. O conjunto da união entre A e B contém todos os elementos de A e de B.

3. INTERSECÇÃO: Algum a é b. Se alguns elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B, então existe intersecção entre esses conjuntos:

4. DIFERENÇA: Algum a não é b. Os elementos da diferença entre os conjuntos A e B são aqueles que pertencem a A e não pertencem ao B.

5. COMPLEMENTAR: Caso particular da diferença entre dois conjuntos, quando um deles é subconjunto do outro. Contém os elementos de A que não pertencem ao subconjunto B.

6. CONJUNTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS (DIFERENÇA SIMÉTRICA) Nenhum A é B. Se nenhum elementos de um conjunto A pertence a ouro conjunto B, então esses conjuntos são mutuamente exclusivos. A intersecção entre os dois conjuntos é vazia.