REVISITANDO AS AULAS DE MATEMÁTICA 7º ANO B - 4ª SEMANA - 17/02/14 A 21/02/14

SISTEMA DE NUMERAÇÃO BINÁRIO

O sistema decimal é muito usado no cotidiano, pois nos oferece uma forma mais simples de manipular os números em determinadas situações matemáticas, é composto por dez números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
O uso da Matemática em situações diversas não diz respeito somente ao homem, os computadores utilizam números para efetuar cálculos complexos com uma maior rapidez e praticidade. O sistema binário é usado pelos computadores é e constituído de dois dígitos o 0 e o 1. A combinação desses dígitos leva o computador a criar várias informações: letras, palavras, textos, cálculos.
A criação do sistema de numeração binária é atribuída ao matemático alemão Leibniz.

Numeração Binária e Numeração Decimal

Transformando decimal em binário

14_(base10) = 1110_(base2)

14 / 2 = 7 resto 0
7 / 2 = 3 resto 1
3 / 2 = 1 resto 1


36_(base10) = 100100_(base2)

36 / 2 = 18 resto 0
18 / 2 = 9 resto 0
9 / 2 = 4 resto 1
4 / 2 = 2 resto 0
2 / 2 = 1 resto 0

O número binário será formado agrupando o último resultado seguido dos restos das divisões anteriores.

Transformando binário em decimal

110100_(base2) = 52 _(base10)

1	1	0	1	0	0
casa 6	casa 5	casa 4	casa 3	casa 2	casa 1
25	24	23	22	21	20
1 x 25	1 x 24	0 x 23	1 x 22	0 x 21	0 x 20
1 x 32	1 x 16	0 x 8	1 x 4	0 x 2	0 x 1
32	16	0	4	0	0

32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 0 = 52

1100100_(base2) = 100_(base10)

1	1	0	0	1	0	0
casa 7	casa 6	casa 5	casa 4	casa 3	casa 2	casa 1
26	25	24	23	22	21	20
1 x 26	1 x 25	0 x 24	0 x 23	1 x 22	0 x 21	0 x 20
1 x 64	1 x 32	0 x 16	0 x 8	1 x 4	0 x 2	0 x 1
64	32	0	0	4	0	0

64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 +0 = 100

Por Marcos Noé

Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola

VÍDEO AULA CLIQUE NO LINK:http://www.youtube.com/watch?v=qSVHUA6w1vE

Na computação, os algarismos 0 e 1 do sistema binário são usados para representar quantidades mínimas de informação, chamadas bits. 
O termo bit deriva do inglês binary digit (dígito binário). Em geral, quando escrevemos os números no sistema binário gastamos mais bits do que a quantidade de dígitos que gastaríamos no sistema decimal; por exemplo, 1 024, que é escrito com 4 dígitos no sistema decimal, tem 11 bits no binário. Esse fato, que constituiria um enorme problema para a capacidade limitada de memória do homem, não é um problema para o computador, que possui uma enorme capacidade de armazenamento de dados. 

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FRAÇÕES CONTÍNUAS

Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma , bem como . A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.

Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma , em que o primeiro termo, , é um número inteiro e os demais números  são números inteiros positivos.

Frações continuadas simples são expressões da forma , em que todos os números  são iguais a 1. Uma expressão da forma  é uma fração continuada simples finita.

EXEMPLO:

A representação do número  na forma de fração continuada.

Usando-se o algoritmo da divisão, obtém-se . Logo, .

A fração ao lado direito da expressão anterior é uma fração própria e tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma . Com isso, obtém-se a expressão .

A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, .

Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado: .

NÚMEROS IRRACIONAIS

Números irracionais, responsáveis por um grande desenvolvimento na Matemática

Todo número decimal é um número irracional? Para as pessoas que têm dúvida quanto a isso, veremos, neste artigo, como definir o conjunto dos números irracionais e observaremos alguns exemplos de números importantes na matemática, que são “constantes irracionais”.

Os números irracionais são aqueles que não podem ser representados por meio de uma fração. O surgimento desses números veio de um antigo problema que Pitágoras se recusava a aceitar, que era o cálculo da diagonal de um quadrado, cujo lado mede 1 unidade, diagonal esta que mede √2. Este número deu início ao estudo de um novo conjunto, representado pelos números irracionais.

Hoje em dia, pensamos: “Nossa, mas encontrar o valor de √2 é tão fácil, basta usarmos a calculadora”. Entretanto, na época em que começaram estes estudos, o único mecanismo para encontrar os valores das raízes quadradas envolvia os números quadrados (√2²,√3²,√4², …).

Com o estudo contínuo dos elementos da matemática, os matemáticos se depararam com a necessidade de calcular o comprimento de uma circunferência; e com cálculos contínuos, notaram que um número se repetia para qualquer que fosse a circunferência, número este que outrora foi denominado de número pi (π).

Esse número é encontrado através da razão do comprimento pelo diâmetro da circunferência.



Esse é um dos números que foi citado no início do texto: a constante π é de fundamental importância para a área de geometria e trigonometria.

Veremos alguns exemplos de números irracionais e notaremos que a sua parte decimal não possui nenhuma estrutura que possa ser fundamentada em forma de fração, assim como ocorre em frações periódicas.

Constantes irracionais ou números transcendentais:

Números irracionais obtidos pela raiz quadrada de um número:


Estes são os números irracionais, cujo valor da última casa decimal nunca saberemos.

Com isso, podemos falar que números irracionais são aqueles que em sua forma decimal são números decimais infinitos e não periódicos. Em outras palavras, são aqueles números que possuem infinitas casas decimais e em nenhuma delas obteremos um período de repetição.

O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I ( i maiúscula) .


Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática

 VÍDEO AULA NO LINK: http://www.youtube.com/watch?v=IxSlE3TFC4E

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS IR

O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. É importante lembrar que o conjunto dos números racionais é formado pelos seguintes conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Vamos exemplificar os conjuntos que unidos formam os números reais. Veja:

Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ....
Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .....
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4,
Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592.... 

Podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes conjuntos:

N U Z U Q U I = R ou Q U I = R


Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima. Essas designações de conjuntos numéricos existem no intuito de criar condições de resolução de equações e funções. As soluções devem ser dadas obedecendo padrões matemáticos e de acordo com a condição de existência da incógnita na expressão.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

VÍDEO AULA NO LINK: http://www.youtube.com/watch?v=CF9wKfCZfhw

REVISITANDO AS AULAS DE MATEMÁTICA - 2º EM A,B, C e D - 4ª SEMANA - 17/02/14 A 21/02/14

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário com intervalo de [0, 2π], a cada ponto da circunferência associamos um número real. No ciclo trigonométrico trabalhamos três tipos de simetria: em relação ao eixo vertical (seno), eixo horizontal (cosseno) e em relação ao centro.

Seno

Alguns valores envolvendo seno de ângulos são conhecidos e fáceis de aprimorar, por exemplo, sen π/6 = sen 30º = 1/2. Outro bem familiar é sen π/4 = 45º = √3/2. Para identificarmos o seno dos outros ângulos utilizamos a simetria vertical. Observe a circunferência trigonométrica a seguir:

 ERRATA: Onde se lê 1/fev leia-se 1/2

Cosseno

No caso dos cossenos vamos utilizar a simetria horizontal para determinar o cosseno dos ângulos do círculo trigonométrico.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

FUNÇÃO SENO

Características da função seno 

É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = sen x. O sinal da função f(x) = sen x é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe:

Gráfico da função f(x) = senx

Por  Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

AULA ON LINE: http://www.youtube.com/watch?v=obYX9YdDdzs

http://www.youtube.com/watch?v=VlBsrIBd-As

REVISITANDO AS AULAS DE FÍSICA - 2º EMB - 4ª SEMANA 17/02/14 A 21/02/14

Nas aulas desta semana resolvemos os problemas sobre " Dilatação Térmica Linear" .
A lista de exercícios encontra-se no grupo do facebook.
Clique no link para ver alguns exemplos:
http://www.sofisica.com.br/conteudos/exercicios/dilatacao.php

http://www.sofisica.com.br/conteudos/Termologia/Dilatacao/linear.php

REVISITANDO AS AULAS DE MATEMÁTICA - 7º ANO B - 3ª SEMANA - 10/02/14 A 14/02/14

Sistema chinês antigo de numeração

A história dos sistemas antigos de numeração da China é repleta de detalhes, o que pode ser encontrado na maioria dos livros de história da Matemática ou de história dos sistemas de numeração. Resumidamente, existem dois tipos de sistema de numeração oriundos da China antiga, ambos posicionais como o nosso, porém com algumas diferenças.
Analisaremos brevemente os dois sistemas com o objetivo central de compará-los com o nosso.
Os algarismos do sistema tradicional chinês de numeração são:

Pela comparação entre o nosso sistema de numeração e o tradicional sistema chinês, nota-se que existem dois aspectos em comum: o princípio multiplicativo na composição dos números e a estrutura decimal.

O segundo sistema de numeração chinês que abordaremos é o de barras, que foi concebido entre os séculos II a.C. e III d.C. Esse sistema é posicional, como o nosso, e cada posição é marcada por um único símbolo. Veja a seguir os 9 primeiros algarismos do sistema chinês de barras:

Para os números maiores que 9, a escrita passa a ser feita da seguinte maneira:

O espaçamento entre as posições de unidade, dezena, centena etc., deve ser dado de forma clara, caso contrário pode haver ambiguidade na leitura e compreensão do número. Atentos a isso, ao longo dos anos os chineses passaram a utilizar um sistema de barras horizontais e verticais intercaladas.
As unidades de casa ímpar (unidades simples, centenas, dezenas de milhar, unidades de milhão etc.) eram expressas por meio do sistema de barras verticais, e as unidades de casas pares (dezenas, unidades de milhar, centenas de milhar, dezenas de milhões etc.), com barras horizontais.
É interessante observar que o sistema chinês resolve bem a questão da ambiguidade de significado dos símbolos, ao contrário do sistema mesopotâmico, porém, enfrentava a dificuldade de não ter um símbolo para o zero. Por causa da ausência de símbolo para o zero, era difícil distinguir as notações de números como 5 444, 54 440, 50 444, 544 000 etc. Além disso, uma única barra vertical podia corresponder tanto ao 1, quanto ao 100, ao 10 000, ao 100 000 etc.
Alguns resolveram esse problema deixando um espaço vazio na posição que corresponderia ao zero, ao passo que outros escribas optavam por uma notação mista entre o sistema de barras e o sistema tradicional, descrito no início desta apresentação.
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/algarismos/china.htm

Sistema de Numeração Binária

O sistema decimal é muito usado no cotidiano, pois nos oferece uma forma mais simples de manipular os números em determinadas situações matemáticas, é composto por dez números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
O uso da Matemática em situações diversas não diz respeito somente ao homem, os computadores utilizam números para efetuar cálculos complexos com uma maior rapidez e praticidade. O sistema binário é usado pelos computadores é e constituído de dois dígitos o 0 e o 1. A combinação desses dígitos leva o computador a criar várias informações: letras, palavras, textos, cálculos.
A criação do sistema de numeração binária é atribuída ao matemático alemão Leibniz.

Numeração Binária e Numeração Decimal

Transformando decimal em binário

14_(base10) = 1110_(base2)

14 / 2 = 7 resto 0
7 / 2 = 3 resto 1
3 / 2 = 1 resto 1


36_(base10) = 100100_(base2)

36 / 2 = 18 resto 0
18 / 2 = 9 resto 0
9 / 2 = 4 resto 1
4 / 2 = 2 resto 0
2 / 2 = 1 resto 0

O número binário será formado agrupando o último resultado seguido dos restos das divisões anteriores.

Transformando binário em decimal

110100_(base2) = 52 _(base10)

1	1	0	1	0	0
casa 6	casa 5	casa 4	casa 3	casa 2	casa 1
25	24	23	22	21	20
1 x 25	1 x 24	0 x 23	1 x 22	0 x 21	0 x 20
1 x 32	1 x 16	0 x 8	1 x 4	0 x 2	0 x 1
32	16	0	4	0	0

32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 0 = 52

1100100_(base2) = 100_(base10)

1	1	0	0	1	0	0
casa 7	casa 6	casa 5	casa 4	casa 3	casa 2	casa 1
26	25	24	23	22	21	20
1 x 26	1 x 25	0 x 24	0 x 23	1 x 22	0 x 21	0 x 20
1 x 64	1 x 32	0 x 16	0 x 8	1 x 4	0 x 2	0 x 1
64	32	0	0	4	0	0

64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 +0 = 100

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

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Conjuntos Numéricos

Conjunto dos Números Naturais

São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}

Conjunto dos Números Inteiros
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).
São representados pela letra Z:

Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

- Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
É representado por Z₊:

Z₊ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}

- Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z_-:

Z_- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z₊ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*₊:

Z*₊ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Z*₊ = N*

- Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z_- excluindo o zero. Representa-se por Z*_-.

Z*_- = {... -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.

http://www.youtube.com/watch?v=VrfrVAOCrmI

A representação da fração  em números decimais é 0,375, assim como a representação decimal da fração  é 0,2.

Repare que embora o número de casas decimais em cada um dos exemplos seja diferente, eles são finitos. O primeiro exemplo possui três casas decimais, ao passo que o segundo exemplo possui apenas uma.

Agora qual seria a representação decimal da fração ?

Note que neste caso o número de casas decimais da representação desta fração na forma decimal, não será um número finito. 76 dividido por 495 será algo como 0,1535353...

Se continuarmos o processo de divisão, iremos indefinidamente acrescentar um dígito 5, depois um 3, depois um 5 e assim por diante, sendo que sempre poderemos continuar acrescentando mais um dígito. A isto damos o nome de dízima periódica

As dízimas periódicas podem ser simples ou composta, no caso do exemplo acima temos uma dízima periódica composta.

A dízima periódica composta 0,1535353... foi gerada a partir da fração , por isto esta fração é chamada defração geratriz da dízima periódica.

Classificando as Dízimas Periódicas em Simples e Compostas

A dízima periódica 0,1535353... é composta, pois ela possui um anteperíodo que não se repete, no caso o número1, e um período formado pelo número 53, que se repete indefinidamente. Se fosse apenas 0,535353... teríamos uma dízima periódica simples, pois ela possui apenas um período, 53, mas não um anteperíodo.

Veja abaixo alguns exemplos:

Exemplos de Dízimas Periódicas Simples

0,111... período igual a 1

0,252525... período igual a 25

0,010101... período igual a 01

0,123123123... período igual a 123

Exemplos de Dízimas Periódicas Compostas

0,2333... anteperíodo igual a 2 e período igual a 3

0,45222... anteperíodo igual a 45 e período igual a 2

0,171353535... anteperíodo igual a 171 e período igual a 35

0,32101230123... anteperíodo igual a 32 e período igual a 0123

Fração geratriz

Como achar a fração geratriz de uma dízima periódica?

A fração geratriz é aquela que dá origem a uma dízima periódica.

Aqui, vamos dar dicas de como achar as frações geratrizes de dízimas periódicas simples e compostas, de uma forma bem prática.

Dízimas periódicas simples

a) 0,2222...
Período: 2

Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador.









Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente de zero.

Uma estratégia é separar parte inteira e parte decimal:

Dízimas periódicas compostas

a) 0,27777...
Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.

No caso do numerador, faz-se a seguinte conta:
(parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo)

Assim:






b) 1,64444...







c) 21,308888... (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 algarismos)






d) 2,4732121212... (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)







Por que dá certo?

Veja a explicação na forma como geralmente se aprende a achar a fração geratriz na escola:

Chama-se a fração geratriz de x:






Para achar o valor de x, encontram-se múltiplos dele com apenas o período na parte decimal






E subtraem-se as duas igualdades






Assim, cria-se uma equação e elimina-se a parte infinita dos números envolvidos, achando-se a fração geratriz.

Note que, no método mais prático, a conta sugerida é a mesma que aparece na equação: 164 - 16, e o denominador fica exatamente com os mesmos algarismos.

No caso do exemplo D, deve-se multiplicar x por números ainda maiores, para se achar a mesma parte decimal nos dois números a serem subtraídos:

*Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

http://www.youtube.com/watch?v=QJNXg67uIHI

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Arcos com Mais de uma Volta

Temos que uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π rad, de acordo com a ilustração a seguir:

Note que o círculo possui raio medindo uma unidade e é dividido em quatro quadrantes, facilitando a localização dos ângulos trigonométricos, de acordo com a seguinte situação:

1º quadrante: abscissa positiva e ordenada positiva → 0º < α < 90º.
2º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 90º < α < 180º.
3º quadrante: abscissa negativa e ordenada negativa → 180º < α < 270º.
4º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 270º < α < 360º. 
Nos estudos trigonométricos existem arcos que possuem medidas maiores que 360º, isto é, eles possuem mais de uma volta. Sabemos que uma volta completa equivale a 360º ou 2π rad, com base nessa informação podemos reduzi-lo à primeira volta, realizando o seguinte cálculo: dividir a medida do arco em graus por 360º (volta completa), o resto da divisão será a menor determinação positiva do arco. Dessa forma, a determinação principal do arco em um dos quadrantes fica mais fácil.

Exemplo 1
Determinar a localização principal do arco de 4380º utilizando a regra prática.

4380º : 360º é correspondente a 4320º + 60º, portanto, o resto da divisão é igual a 60º que é a determinação principal do arco, dessa forma, sua extremidade pertence ao 1º quadrante.

Exemplo 2
Qual a determinação principal do arco com medida igual a 1190º?

1190º : 360º, a divisão possui resultado igual a 3 e resto 110, concluímos que o arco possui três voltas completas e extremidade no ângulo de 110º, pertencendo ao 2º quadrante.


Arcos Côngruos

Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade. Uma regra prática eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em verificar se a diferença entre eles é um número divisível ou múltiplo de 360º, isto é, a diferença entre as medidas dos arcos dividida por 360º precisa ter resto igual a zero.

Exemplo 3
Verifique se os arcos de medidas 6230º e 8390º são côngruos.

8390º – 6230º = 2160
2160º / 360º = 6 e resto igual a zero. Portanto, os arcos medindo 6230º e 8390º são côngruos.

Exemplo 4
Confira se os arcos de medidas 2010º e 900º são côngruos.

2010º – 900º = 1110º
1110º / 360º = 3 e resto igual a 30. Portanto, os arcos não são côngruos.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

http://www.youtube.com/watch?v=7EyoF5VwW3o