REVISITANDO AS AULAS DE MATEMÁTICA - 2º EM A, B, C e D - 2ª SEMANA - 03/02/14 A 07/02/14

CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a origem dos arcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas, dessa forma, este ponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados os números reais α relacionados a um único ponto P. Os sentidos dos arcos trigonométricos estão de acordo com as seguintes definições:

Se α = 0, P coincide com A.
Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário.
Se α < 0, o sentido do círculo será horário.
O comprimento do arco AP será o módulo de α.




Na ilustração a seguir estão visualizados alguns números importantes, eles são referenciais para a determinação principal de arcos trigonométricos:

Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o ângulo α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no círculo para determinarmos a sua imagem.

Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-horário e localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.

Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completas no sentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6 = 2π – 5π/6.

Assista à aula on line: http://www.youtube.com/watch?v=kykhaKGVJfI

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

UNIDADES DE MEDIDAS DE ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA

Dada uma circunferência qualquer de centro O e raio r, iremos marcar dois pontos A e B, os quais dividirão a circunferência em duas partes denominadas de arco de circunferência. Os pontos A e B são os extremos dos arcos. Caso as extremidades sejam coincidentes, temos um arco com uma volta completa. Observe a ilustração a seguir:

Nela podemos notar a existência do arco AB e de um ângulo central representado por α. Para cada arco existente na circunferência temos um ângulo central correspondente, ou seja: med(AÔB) = med(AB). Portanto, o comprimento de um arco depende do valor do ângulo central.

Na medição de arcos e ângulos usamos duas unidades: o grau e o radiano.

Medidas em Grau 
Sabemos que uma volta completa na circunferência corresponde a 360º, se a dividirmos em 360 arcos teremos arcos unitários medindo 1º grau. Dessa forma, enfatizamos que a circunferência é simplesmente um arco de 360º com o ângulo central medindo uma volta completa ou 360º. Também podemos dividir o arco de 1º grau em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1’ (arco de um minuto). Da mesma forma podemos dividir o arco de 1’ em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1” (arco de um segundo).

Medidas em Radianos

Dada uma circunferência de centro O e raio R, com um arco de comprimento s e α o ângulo central do arco, vamos determinar a medida do arco em radianos de acordo com a figura a seguir:

Dizemos que o arco mede um radiano se o comprimento do arco for igual à medida do raio da circunferência. Assim, para sabermos a medida de um arco em radianos, devemos calcular quantos raios da circunferência são precisos para se ter o comprimento do arco. Portanto:

Com base nessa fórmula podemos expressar outra expressão para determinar o comprimento de um arco de circunferência:

De acordo com as relações entre as medidas em grau e radiano de arcos, vamos destacar uma regra de três capaz de converter as medidas dos arcos. Veja:

360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28)
180º → π radiano (aproximadamente 3,14)
90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57)
45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)

medida em graus	medida em radianos
x	α
180	π

Exemplos de conversões:

a) 270º em radianos

 b) 5π/12 em graus

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola